Menerjemahkan Kata Atau, Dan, Bukan Pada Teori Peluang

Di dalam materi teori peluang kita sering menjumpai kata atau, dan , bukan. Kata-kata ini dapat kita terjemahkan ke dalam bahasa matematik sehingga soal yang mengandung salah satu kata tersebut dapat diselesaikan.

ATAU

Atau berarti gabungan, dengan rumus:

Bila A dan B saling lepas maka:

DAN

Dan berarti irisan dengan rumus:

   bila A dan B saling bebas

 bila A dan B tidak saling bebas

Namun perlu diingat tidak selamanya soal yang mengandung kata dan diselesaikan dengan rumus di atas.

Perhatikan soal berikut ini:

Sebuah dadu dilambungkan sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu prima dan genap!

BUKAN

Bukan berarti komplemen dengan rumus:

Merasionalkan Penyebut

Merasionalkan penyebut adalah materi yang diajarkan di SMA. Kita sangat mengenal rumus  . Misal  .  Sekarang coba kita selesaikan soal berikut:  Rasionalkan pecahan berikut:  . Biasanya kita jawab seperti di bawah ini:

. Memang sih jawaban ini tidak salah alias 100% benar. Sekarang perhatikan langkah pada jawaban berikut ini

. Jadi untuk merasionalkan penyebut pada soal seperti ini kita tidak harus menggunakan rumus di atas. Intinya yang harus ditanamkan pada siswa adalah merasinalkan penyebut adalah mengubah bentuk pecahan sehingga penyebutnya rasional.

Menyelesaikan Soal Dengan Melangkah Mundur

Mengerjakan soal mulai dari yang diketahui dan mengubah menjadi bentuk yang dikehendaki sudah sering kita lakukan. Namun ada kalanya akan lebih efisien bila kita menyelesaiakan soal dengan melangkah mundur. Tehnik pengerjaan ini jarang atau mungkin tidak pernah kita lakukan.

Perhatikan contoh-contoh soal berikut ini!

Contoh 1

Saya adalah sebuah bilangan. Dua kali saya dan kemudian ditambah 12 memberikan nilai 50. Berapakah saya?

Cara Biasa:

Misalkan saya adalah x. Dari soal didapat 2x + 12 = 50. Didapatlah x = 19

Mengerjakan Dengan Melangkah Mundur:

Hasil terakhir adalah 50. Kurangi 12 (operasi invers dari tambah 12) menjadi 38. Kemudian bagi 2 (operasi invers dari kali 2) hasilnya adalah 19.

Contoh 2

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 maka diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2 maka hasilnya 4 kali suku pertama. Rasio barisan geometri itu adalah:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

E. 8

Cara Biasa:

Misal barisan aritmetika itu adalah, p - b, p, dan p + b. b adalah beda barisan aritmetika

p - b, p - 2, dan p + b + 2 adalah barisan geometri

Kita akan menentukan nilai p dan b.

Pada barisan geometri berlaku (p – 2)² = (p – b)(p + b + 2)..................1)

Dilain pihak (p + b + 2) = 4(p - b), 

p + b + 2 = 4p - 4b

p - 4p = -4b - b - 2

-3p = -5b - 2

3p = 5b + 2

p = (5/3)b + (2/3)...............2)

Substitusikan ke persamaan .........1) didapat:

((5/3)b + (2/3) – 2)² = ((5/3)b + (2/3) – b)((5/3)b + (2/3) + b + 2)

(p – 2)² = (p – a)(p + b + 2)

(5b + 2 – 6)² = (5b + 2 – 3b)(5b + 2 + 3b + 6)

(5b – 4)² = (2b + 2)(8b + 8)

25b² – 40b + 16 = 16b² + 32b + 16

9b² – 72b = 0

b² – 8b = 0

b = 0 atau b = 8

b = 0 tidak dipakai jadi yang dipakai b = 8

Substitusikan b = 8 ke persamaan ...2) didapat p = 14. 

Barisan aritmetika adalah 6, 14, 22, sedangkan barisan geometrinya adalah 6, 12, 24. Jadi rasionya 2

Jawaban; C

Mengerjakan Dengan Melangkah Mundur:

Misalkan barisan geometri itu adalah a, ar, ar²

Barisan aritmetikanya adalah a, ar+2, ar²-2 

ar² – 2 + 2 = 4a

ar² = 4a

r² = 4

r = 2 atau r = -2

Jawaban C
Ternyata lebih singkat dari cara biasa.

Mendefinisikan Pangkat Rasional Dengan Benar

Di dalam Matematika ada beberapa struktur yang perlu kita kita ketahui, ialah aksioma (postulat), teorema (dalil), pengertian pangkal, dan definisi. Kali ini kita akan membahas mengenai definsi. Di dalam mendefinisikan suatu istilah, kadang kita  kurang lengkap dalam memberikan suatu batasan. Misal definisi persmaan kuadrat adalah "Persamaan yang berbentuk  . Kadang-kadang kita lupa memberi batasan bahwa  .

Sekarang perhatikan contoh berikut ini

Tampaknya terjadi kontradiksi (hasilnya tidak sama). Mengapa ini sampai terjadi? Hal ini karena kita kurang dalam memberikan batasan dalam mendefinisikan pangkat rasional. Perhatikan definisi pangkat rasional berikut ini!

Bila a bilangan real, m, n bilangan bulat positif, m dan n relatif prima maka didefinisikan:

m dan n relatif prima artinya m dan tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 atau dengan kata lain pangkat rasional    merupakan pecahan yang paling sederhana. Sekarang perhatikan pangkat rasional   , bilangan ini tidak relatif prima, karena 6 dan 2 mempunyai faktor persekutuan 3. Jadi   merupakan pengerjaan yang salah karena tidak sesuai dengan definisi. Batasan mengenai relatif prima antara m dan n inilah yang sering dilupakan dalam mendefinisikan pangkat rasional.

Dalam menurunkan suatu sifat dari pangkat rasional kadang di beberapa buku tidak memberikan batasan yang lengkap, bahkan ada buku yang memberika batasan yang salah. Salah satu sifat pangkat rasioanal adalah:
 ada buku yang memberikan batasan a bilangan real, m dan n bilangan rasional. Seharusnya batasan yang benar a bilangan real positif. Mari kita perhatikan kasus berikut:
Misal a = -2, m = 2, dan n = 1/2.
Kita hitung ruas kiri:

Sekarang kita hitung ruas kanan:

Ternyata hasilnya tidak sama (kontradiksi). Mengapa? Karena a negatif. Padahal batasannya a positif

Permuatasi Mengandung Unsur Yang Sama dan Sekaligus Siklis

Kita mengenal 3 jenis permutasi, yaitu permutasi unsur berbeda, permutasi unsur sama, dan permutasi siklis.

1. Permutasi Unsur Berbeda

Misalkan diketahui n unsur berbeda. Banyaknya permutasi dari r unsur (r kurang dari atau sama dengan n ) yang diambil dari n unsur adalah

Contoh Soal:

Tentukan banyak permutasi 2 unsur dari huruf A, B, C, dan D!

Jawab:

. 

Jadi banyk permutasi adalah 12

2. Permutasi Unsur Sama

Misalkan diketahui terdapat n unsur dan ada k unsur yang masing-masing muncul q1, q2, q3, ...qn kali. Permutasi n unsur tersebut adalah:

Tentukan banyak permutasi dari huruf-huruf yang terdapat dalam kata OSIS!

Jawab:

O = 1

S = 2

I = 1

Jadi banyak permutasinya sebanyak 12

3. Permutasi Siklis

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah

Tentukan banyak permutasi siklis dari A, B, C, D

Jawab:

n = 4

Jadi banyak permutasi siklisnya adalah 6

Permasalahn menarik berikut ini perlu dipikirkan:

Tentukan banyak permutasi siklis A, A, B, C! Mari kita perhatikan! Soal ini adalah soal mengenai permutasi yang mengandung unsur yang sama dan sekaligus siklis. Soal jenis seperti ini jarang dibahas di buku. 

Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan rumus berikut:

Jadi banyak permutasinya adalah 3